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借助物理自洽性計算圈振幅

文章來源: 發布時間: 2021-10-18 【字體:      

  费曼图是量子场论中普适的计算微扰的方法,运用极其广泛,施温格曾经说过[1]:“Like the silicon chips of more recent years, the Feynman diagram was bringing computation to the masses.” 用费曼图的计算流程有着清晰的物理图像(图1),但做过实际计算的人可能都会有这样的体会,计算的中间流程往往非常繁琐,而且很容易犯错,比如丢掉了一些图,或者错了个正负号,等等。并且更致命的是,随着外线数和圈数的增加,费曼图的个数随之呈阶乘数增长,要完成所有费曼图的计算往往非常困难,有时即使借助强大的计算机也无法做到。

  
 

 

  圖1:描述正反電子湮滅,産生正反誇克並輻射一個膠子的樹圖階費曼圖。  

 

  和这些困难形成鲜明对比的是,费曼图最终求和的物理结果往往非常简单。最著名的例子就是描述胶子最大螺旋度破缺(MHV)振幅的Parke-Taylor公式 [2],它给出了给定螺旋度情况下任意数量胶子相互作用在树图阶的简单结果。这些结构很难通过费曼图来直接理解,这启示我们存在一种不同于费曼图的更有效的方法来重新看待场论。 

  在通常費曼圖計算中,我們往往是經過複雜的計算過程得到結果後,來檢查所得的結果是否滿足各類物理要求,如果通過了,我們的結果就比較可靠了。這些物理約束包括,具有普適的紅外發散結構、滿足共線極限的因子化性質、通過幺正性切割檢驗、以及滿足其他極限行爲等等。可以說,這些約束擔任著重要的“産品檢測員”的角色。 

  但更好的思路可能是反過來,從計算的一開始就讓這些物理約束登場,邀請它們作爲第一線的“産品設計師”,借助這些約束來嘗試直接構造最終的結果。這樣就更直接的吸收了物理更基本的要求,不僅可以大大簡化中間過程,同時也保證了結果的正確性。這其實就是通常所說的bootstrap方法(圖2)。

  
 

 

  圖2:從一些基本假設條件出發,要求物理結果滿足這些條件的自洽性要求,從而直接約束得到最終物理結果,這一思想就是所謂的“bootstrap”,中文有時翻譯爲“自舉”;取“自己把自己提起”之意,如圖片所示。

  
 

  最近,理论物理所的杨刚研究员和研究生郭圆宏、王磊就借助这一思路,发展了计算圈图散射振幅的新方法:他们从振幅的一般结构出发,避开费曼图,直接借助物理约束得到最终的物理结果。成果发表于Physical Review Letters (Vol. 127, No. 15, 2021) [3]。 

  
 

  具體來說,振幅的物理信息包含在積分基底的“系數”中。一個簡單的例子是無質量的單圈振幅。單圈積分的數學性質告訴我們,任意單圈振幅都可以用一組包含box、triangle和bubble的標量積分基底展開(這樣做只會丟掉一些所謂有理項,這裏暫且忽略,如圖3)。這些積分基底是數學上統一定義的積分,而真正的物理信息則包含在這些積分的系數中,換句話說,這些系數才是我們真正所關心的。 

  
 

 

  圖3:單圈振幅按基底積分展開的例子,真正的物理信息包含在系數中。

  
 

  傳統的計算思路是從費曼圖出發,然後通過積分約化得到這些系數結果。楊剛等人借助紅外發散、共線極限、虛極點消除、以及少數簡單的幺正性約束條件等,直接通過求解線性方程組得到了這類系數,並首次實現了兩圈四點形狀因子(相當于外線帶質量的兩圈五點振幅前沿問題)的計算,如圖4。這一思路不僅提供了計算上的新途徑,也可以幫助理解振幅和形狀因子中所發現的最大超越度對應關系等解析結構。 

  
 

  圖4:兩圈五點積分的例子和幺正性約束。

  
 

  參考文獻: 

  [1] J. Schwinger, “Renormalization theory of quantum electrodynamics: an individual view”, 1983. 

  [2] S. Parke, Taylor, “Amplitude for n-Gluon Scattering”, Phys. Rev. Lett. 56 (1986) 2459. 

  [3] Y. Guo, L. Wang, G. Yang, “Bootstrapping a two-loop four-point form factor”, Phys. Rev. Lett. 127 (2021) 15. 

  

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