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色-動量對偶和規範自由度

文章來源: 發布時間: 2021-11-01 【字體:      

  有效计算量子场论中的高圈费曼图,是高能物理的核心问题之一。而量子场论的圈图计算随着外线数和圈数增加,会变得极其复杂。2008年,美国加州大学洛杉矶分校的三位研究者Zvi Bern、John Joseph Carrasco、Henrik Johansson发现规范场的振幅存在一种新的隐藏结构 [1],这也为计算高圈振幅提供了一种有效途径。这种新结构表明,规范理论中,振幅的色因子(源于规范对称性)和动量因子(源于时空对称性)满足相同的代数关系,其通常被称为“色-动量对偶”(Color-Kinematics duality)关系。图1给出了一个简单的四胶子树图振幅的例子来说明这一对偶关系。

  
 

  圖1:四膠子振幅可以用s、t、u三個圖表示,其動量因子n滿足和色因子c相同的代數關系。

  
 

  色-动量对偶关系暗示着规范和时空两种对称性存在紧密的联系。在规范理论中,物理量满足规范对称性和时空对称性;而在引力理论中,物理量满足的对称性只有时空对称性。读者可能会问,既然规范对称性和时空对称性存在紧密的联系,那么规范理论和引力理论中的物理量是否也有紧密的关系?事实上,借助色-动量对偶,可以从“满足对偶的”规范振幅来直接构造引力振幅 [2]:只需要把色因子进一步替换为动量因子,这样得到的包含动量因子平方的振幅就是引力振幅。图2表示了四胶子和四引力子振幅的例子。这一神奇的联系英文一般称为“double copy”,我们这里暂且称为“平方关系”,取“引力 = 规范场的平方”的意思 [3]。

  
 

  圖2:四膠子振幅的動量因子平方可以直接給出四引力子振幅。 

  
 

  借助平方關系構造引力的一個前提條件是,規範振幅必須滿足色-動量對偶。那是否一定能構造這樣的規範振幅呢?很遺憾,目前除了對于樹圖振幅有證明外,對于包含量子修正的一般圈圖情形還只是一個猜想,其成立性沒有任何一般性證明。雖然人們已經發現了很多圈圖的例子,但隨著圈數和外線數的增加,找到這樣的例子就變得非常具有挑戰性了。比如最大超對稱場論中的四膠子振幅,至今也沒有實現其五圈的對偶。如果能證明色-動量對偶在一般量子水平存在,借助平方關系將無疑會對理解量子引力提供極大的促進,甚至有可能最終解決量子引力問題。

  
 

  最近,理论物理所的杨刚研究员和北京大学本科生林冠达、理论物理所研究生张思源在研究色-动量对偶方面取得新进展,首次发现了一类三圈形状因子的满足对偶关系的解;特别的,他们发现这个解空间还意外的大,比如对于能动量守恒流算符的情形,其解空间包含多达24个自由参数。这一成果发表于Physical Review Letters (Vol. 127, No. 17, 2021) [4]。

  
 

  在这一课题中,作者考虑了一类超对称场论中的三圈三点形状因子,这类物理量可以类比于Higgs到三个胶子过程的散射振幅。两圈水平的研究表明这些超对称形状因子可以给出QCD结果中函数最复杂的最大超越函数部分 [5],所以和唯象学也有紧密的联系。以上述能动量守恒流算符相关的形状因子为例,图3表示了该形状因子的示意图以及所涉及的29个费曼图。

  
 

  圖3:三圈的費曼圖。

  
 

  這些新結果的一個重要特征是帶有色-動量對偶結構,正如前文所言,這一結構隱藏著深刻的物理意義。在規範理論的振幅中,選取不同的“規範”,可能會給出看起來差別很大的不同形式,進而從不同的側面反映出振幅的性質。色-動量對偶的結構指的是:存在一類特殊的“規範”選擇,使得振幅或形狀因子表現出色-動量對偶這一特別的性質,此時色因子和動量因子會滿足一一對應的關系。楊剛等人最新的三圈結果,不僅給出了圈圖水平上色-動量對偶的新的證據,而且表明即使是上述特殊的“規範”選擇也還可能有很大的解空間。這些帶有新特征的解可以成爲幫助更好理解色-動量對偶的有用素材,進而也會有助于更好地理解上述平方關系甚至量子引力問題。 

  
 

  此外,課題組還對所得結果實現了非常具有挑戰性的三圈積分的計算,並進一步研究了其他一些有趣的性質。比如其中很重要一點是,三圈的物理量首次表現出非平面的非偶極紅外結構。文章也對這類性質做了仔細研究。 

  
 

 

  參考文獻:

  
 

  [1] Z. Bern, J. Carrasco, and H. Johansson, “New Relations for Gauge-Theory Amplitudes”, Phys. Rev. D78 (2008) 085011.

  
 

  [2] Z. Bern, J. Carrasco, and H. Johansson, “Perturbative Quantum Gravity as a Double Copy of Gauge Theory”, Phys.Rev.Lett. 105 (2010) 061602.

  
 

  [3] 值得一提的是,在80年代Kawai, Lewellen, 和戴自海等人就发现弦理论中闭弦振幅可以写成开弦振幅的平方,见H. Kawai, D. Lewellen, H. Tye, “A Relation Between Tree Amplitudes of Closed and Open Strings”, Nucl.Phys.B 269 (1986) 1-23,给出了最早的平方关系的例子。但色-动量对偶提供了全新的图像,基于这一对偶的平方关系可以在圈图有非常自然的直接推广。

  
 

  [4] G. Lin, G. Yang, S. Zhang, “Three-Loop Color-Kinematics Duality: A 24-Dimensional Solution Space Induced by New Generalized Gauge Transformations”, Phys. Rev. Lett. 127 (2021) 17.

  
 

  [5] A. Brandhuber, G. Travaglini, G. Yang, “Analytic two-loop form factors in N=4 SYM”, JHEP 05 (2012) 082; T. Gehrmann, M. Jaquier, E. Glover, A. Koukoutsakis, “Two-Loop QCD Corrections to the Helicity Amplitudes for H to 3 partons”, JHEP 02 (2012) 056.

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